Das Ziegenproblem

Problemstellung:

Eine Ziege wird genau am Rand einer kreisrunden Wiese an einem Seil festgepflockt. Sie erreicht von der Stelle, an der sie angekettet ist, aus somit ebenfalls eine kreisrunde Fläche. Wie lang muss das Seil sein, wenn sie genau die Hälfte der kreisrunden Wiese abgrasen kann?

Skizze mit Erläuterungen:

Die Ziege sei an A angekettet. Die kreisrunde Wiese sei durch den Kreis K(0,a) dargestellt. Seine Fläche beträgt . Der Kürze halber sei dieser Kreis mit K1 bezeichnet, der Kreis um A (a|0) mit Radius b heiße K2. (). Offenbar soll die gesamte schraffierte Fläche einen Flächeninhalt von haben.

(Wie man übrigens sofort sieht, kann b nur größer als a sein, denn bei a=b wäre die schraffierte Fläche sicherlich kleiner als die Hälfte der Kreisfläche von K1!)

Rechnung:

Aus Symmetriegründen reicht es aus, das entsprechende Verhältnis auf die oberen Kreishälften zu beschränken.

Die entsprechenden oberen Halbkreise H1, H2 werden durch die folgenden Funktionsgleichungen beschrieben:

H1: , wobei

H2: , wobei .

Da S (x|y) als Schnittpunkt auf beiden Kreisen liegt, erfüllt er beide Funktionsgleichungen, es gilt also: .

Man erhält S (|).

Wir wollen im Folgenden mithilfe der Kreisintegralformel die obere Hälfte der schraffierte Fläche berechnen, sie sei mit A* bezeichnet.

A* = +

=

(lediglich Substitution x-a durch x im linken der beiden Integrale)

=

=

+

=

Diese Fläche muss nun ebenso groß sein wie die Hälfte der oberen Kreisfläche von K1, also . Es gilt also die folgende Gleichung:

A*=

Diese Gleichung ist nicht elementar lösbar! Allerdings lassen sich mittels numerischer Verfahren Lösungen bestimmen. Für a=1 beispielsweise erhält man b1,15873.

Einen anderen Lösungsweg als den meinen hier findet man hier. Glücklicherweise erhält der Autor bei a=1 dasselbe Ergebnis .... ;-)